'수학이야기' 카테고리의 글 목록 (66 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기

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다각형 굴리기
수학이야기/미적분 2019. 10. 21. 22:42
다각형을 굴릴 때 꼭짓점이 그리는 자취를 '사이클로곤(cyclogon)'이라 부른다. 원을 굴릴 때 그려지는 사이클로이드를 생각하면 쉽다. 정삼각형을 직선 위에서 굴릴 때 정사각형을 직선 위에서 굴릴 때 고려대학교 논술이 이젠 사라졌지만 2014학년도 자연계 논술문제로 출제된 적이 있다. 문제는 아래와 같다. 제시문을 읽고 물음에 답하시오. 가) 그림 1과 같이 둘레의 길이가 $1$인 정삼각형 $ABC$를 직선 $l$ 위에서 한 바퀴 굴린다. 이때 꼭짓점 $A$는 꼭짓점 $C$를 중심으로 하는 원의 호를 따라 $A^{\prime}$의 위치로 이동한 후 다시 점 $B^{\prime}$를 중심으로 하는 원의 호를 따라 $A^{\prime\prime}$의 위치로 이동한다. 나) 그림 2와 같이 둘레의 길이가 ..
공간 곡선 운동에 관하여
수학이야기/Calculus 2019. 10. 21. 15:19
원기둥에 있는 나선을 따라 운동하는 점 나선 모양 곡선은 헬릭스(Helix)인데 그리스에서 꼬인 곡선을 일컫는 말 (ἕλιξ)에서 온 말이다. 나선 위에 있는 점을 위치벡터로 나타내면 아래와 같다. $$\mathbf{r}=a\cos t \mathbf{i}+a\sin t \mathbf{j}+ b t\mathbf{k}$$ 따라서 속도와 가속도는 아래와 같다. $$\mathbf{v}=-a\sin t \mathbf{i}+a\cos t \mathbf{j}+ b \mathbf{k}$$ $$\mathbf{a}=-a\cos t \mathbf{i}-a\sin t \mathbf{j}+ 0\mathbf{k}$$ 속력과 가속도의 크기를 구해보자. $$|\mathbf{v}|=\sqrt{(-a\sin t )^2 +(a\cos t..
평면 곡선 운동에 관하여
수학이야기/Calculus 2019. 10. 16. 13:59
포물선 운동 질량 $m$인 물체를 속도 $\mathbf{v_0}$로 쏘아 올렸다. 이 물체는 어떻게 움직일까? 먼저 시각 $t$일 때, 위치벡터를 $\mathbf{r}$이라고 하자. $t=0$일 때 속도벡터 $\mathbf{v_0}$와 지면이 이루는 각을 $\alpha$라고 하면 아래와 같은 식이 성립한다. $$\mathbf{v_0}=|\mathbf{v_0}|\cos\alpha\mathbf{i}+|\mathbf{v_0}|\sin\alpha\mathbf{j}$$ $$\mathbf{r_0}=0\mathbf{i}+0\mathbf{j}$$ 뉴턴 제2 운동법칙에 따라 물체가 받는 힘은 $F=m\mathbf{a}$이다. 한편 이 운동의 가속도는 중력가속도 $g$와 같다. $$m\mathbf{a}=-mg\mathbf..
운동을 수학으로 나타내는 방법에 관한 공부
수학이야기/Calculus 2019. 10. 11. 12:00
처음에는 아무것도 보이지 않는다. 그리스인이 말한 '카오스'나 노자가 말한 '공'이다. 무엇인지는 모르는 뭔가가 움직임을 만든다. 보이지 않던 것이 보이기 시작한다. 여전히 다음 순간 어디로 어떻게 움직일까 전혀 알 수 없다. 무질서한 움직임을 파고들면 질서가 보인다. 비로소 우리는 운동을 어렴풋이 파악할 수 있다. 점은 부분이 없는 것이다. 점이 움직이면 자취가 생긴다. 이 자취가 선이다. 유클리드는 선은 폭이 없는 길이로 정의했다. 점이 가만히 있으면 아무 것도 없지만 움직이면 움직인 거리가 생긴다. 기하학(Geometry)은 점, 선, 면으로 이루어진 도형의 길이와 넓이, 부피를 재는 공부다. 미적분(Calculus)은 움직임을 공부한다. 시각애 따라 움직인 거리를 나타내기 위해 함수가 등장한다. ..
그래디언트와 등위곡선의 접선
수학이야기/Calculus 2019. 10. 10. 12:01
그래디언트가 어떤 성질을 가지고 있는가 정리해 보자. 등위곡선(Level Curves) 함수 $f(x,y)$에서 상수 $c$가 치역에 속한다고 하자. 평면 $z=c$가 곡면 $z=f(x,y)$가 만나는 교선을 $xy$평면에 정사영한 곡선 $f(x,y)=c$를 등위곡선이라 한다. 등고선을 생각하면 이해가 쉽다. 그래디언트와 등위곡선 함수 $z=f(x,y)$에서 등위곡선 $\mathbb{r}=g(t)i+h(t)j$ 위에 있는 점에서 상수 $c$값을 가진다고 하자. 다시 말해 $f(g(t),h(t))=c$라고 하자. 양변을 $t$에 대하여 미분하자. $$\frac{d}{dt}f(g(t),h(t))=\frac{d}{dt}c$$ $$\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d g}{d t}..

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